تعداد حالت‌های ساخت مجموعه‌ها با شرط روی اندازه اشتراک

این سوال در الگوریتم میکاوا برای انحصار متقابل توزیع شده و در الگوریتم محاسبه‌ی فرکانس هست.
https://cseweb.ucsd.edu/classes/wi09/cse223a/p145-maekawa.pdf
https://ac.els-cdn.com/S0022000097915452/1-s2.0-S0022000097915452-main.pdf?_tid=17567bfe-0830-11e8-98fd-00000aab0f02&acdnat=1517586508_dc4612d9ce69164d6268953577dd6e24
راه‌حلی که به نظر من می‌رسد این است که اول تعداد حالت‌های اشتراک مجموعه‌ها را بسازیم، بعد عناصر را توی آنها بچینیم.
کلاً شمارش آن تا وقتی دو تا مجموعه باشد خیلی سخت نیست، مشکل از وقتی شروع می‌شود که اشتراک سه تا مجموعه که توی سوال برایش هیچ شرطی گذاشته نشده چه چیزی باید باشد.
خب توی خود مقاله نوشته است که در نظریه کدگذاری این بحث شده.
این داستان ادامه دارد...